Green Hackenbush

-
এই পর্বটি পড়ার আগে ব্যাসিক গেম থিওরি শিখা জরুরী। ব্যাসিক গেম থিওরি শিখতে নিচের পর্বগুলো পড়তে হবে।

মনে করি, আমাকে অনেকগুলো বাঁশ গাছ দেয়া আছে। প্রতিটি গাছের উচ্চতা h[i] একক। এখন, দুইজন প্লেয়ার যেকোন একটি বাঁশ গাছের যেকোন জায়গায় কাটতে পারবে। যে প্লেয়ার শেষ গাছের শেষ এজটি কাটবে সে জিতবে। 

৩য় গাছের ১ম এজ কাটলে উপরে দুইটি এজ সম্পূর্ণ অক্ষত থাকলেও পরবর্তীতে ওই এজগুলো আর কাটা যাবে না। কারণ সেটি গাছের মূল থেকে বিচ্ছিন্ন! 

একটু ভালো করে লক্ষ করলে দেখবে এটি সিম্পল একটি নিম এর প্রব্লেম। নিমে যেরকম অনেকগুলো পাথরের স্তুপ দেয়া আছে। প্রতি চালে একজন প্লেয়ার যেকোন স্তুপ থেকে যেকোন সংখ্যক পাথর উঠাতে পারে। 
তাহলে, এই প্রব্লেমের সমাধানও একই। প্রতিটি বাঁশ গাছের উচ্চতার এক্সর করতে হবে। এক্সর = ০ হলে, ২য় প্লেয়ার জিতবে। অন্যথায়, প্রথম প্লেয়ার জিতবে।


এখন বিপত্তি বাধবে যদি গাছগুলো বাঁশগাছ না হয়😜
নিচের ছবিটি লক্ষ কর।
এরকম হলে প্রব্লেমটির সলুশন কেমন হবে? 
এই ক্ষেত্রে, আমরা Colon Principle ব্যাবহার করে প্রব্লেমটিকে আবারও নিম প্রব্লেমে কনভার্ট করতে পারি। 

Colon Principle: এই নীতি, আমাদের বলে যখন কোন ভার্টেক্স থেকে একাধিক ব্রাঞ্চ বের হয় তখন সবগুলো ব্রাঞ্চ এর উচ্চতার এক্সর এর সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি সিম্পল পাথ দ্বারা আমরা সবগুলো ব্রাঞ্চ কে রিপ্লেস করে দিতে পারি। 
তাহলে উপরের প্রব্লেমটির সরলীকৃত রূপ হবে অনেকটি নিচের প্রব্লেমের মতো। 
দুটি চিত্রে, আয়তাকার চিহ্ন দিয়ে সেই ভার্টেক্সকে বুঝানো হয়েছে যেখান থেকে একাধিক পাথ বের হয়েছিলো। 
এখন, তাহলে সহজেই নিম ব্যাবহার করে প্রব্লেমটি সলভ করা যাবে। 


এখন, গাছগুলো যদি বাস্তব জগতের গাছ এর মতো না হয়? অর্থাৎ, গাছ এ যদি লুপ থাকে! তাহলে কী হবে? 

এখন, আমরা এটিকে সিপ্লিপাই করতে পারি Fusion Principle অনুসারে।

Fusion Principle: এই নীতি অনুসারে, একটা সাইকেলের দৈর্ঘ্য যতো, সাইকেলের শুরুর নোডে ততোগুলো ১ একক দৈর্ঘ্যের এজ যোগ করে সাইকেল টা কে রিমুভ করা যায়। শুরুর নোড ব্যাতীত অন্য কোন নোড থেকে কোন ব্রাঞ্চ বের হলে সেটি হুবহু সাইকেলের শুরুর নোডে এসে বসে যাবে। 

এখন, উপরের প্রব্লেমের প্রথম সাইকেল রিমুভ করলে যা আসবেঃ 

এখন, ২য় সাইকেল রিমুভ করলে যা আসবেঃ 

এবার, আমরা কোলন নীতি অনুসারে ব্রাঞ্চগুলো রিমুভ করতে পারি। এরপর, প্রব্লেমটি পুরোপুরিভাবে নিম প্রব্লেমে রূপান্তরিত হলো। 

এই ধরনের প্রব্লেমই Green Hackenbush প্রব্লেম নামে পরিচিত। 

Suggested Problem For This Topic: Game of CS

Happy Coding😊

Comments

Post a Comment

Trending Post

GCD of all numbers of given range of the array with point update

-
 Problem: এই প্রব্লেমে আমাদের একটি অ্যারে দেয়া থাকবে n সাইজের এবং q সংখ্যক কুয়েরী এন্সার করতে হবে। দুই ধরনের কুয়েরী থাকবে।  1 L R           অ্যারের L to R index পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর GCD বের করতে হবে।  2 pos x         অ্যারের pos তম পজিশনের ভ্যালু x বাড়িয়ে দাও।  Solution: সেগমেন্ট ট্রি এর রেঞ্জ কুয়েরী এবং পয়েন্ট আপডেট সম্পর্কে ধারনা থাকলেই এই প্রব্লেম সলভ করা সম্ভব। তাই বিস্তারিত আলোচনা না করে সরাসরি কোডে যাচ্ছিঃ  Suggested problem Happy Coding 
Read more

SPOJ - PARSUMS - Nonnegative Partial Sums with Sliding Range Minimum Query

-
Image
See the problem description -  Here প্রব্লেম বুঝে থাকলে প্রথমে ১ টি টেবিল দেখে নেয়া যাকঃ  আমাদের কে একটি অ্যারে দেয়া আছে ara[] = {-3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3} টেবিলের ১ম সারি হলো মূল অ্যারে (উল্লেখ্য অ্যারের সাইজ ৬। মূল অ্যারে টা কে ২বার রিপিট করা হয়েছে সলুশন এর সুবিধার্থে) । ২য় সারি হলো মূল অ্যারের কিউমুলেটিভ সাম যা ০ সাইক্লিক শিফট এর জন্য কাজ করে। এই সারির ১ থেকে ৬ ইন্ডেক্স পর্যন্ত সাম অ্যারের ইলিমেন্ট গুলোর মধ্যে মিনিমাম টা ০ থেকে বড় হলে, ০ সাইক্লিক শিফট শর্ত মেনেছে এন্সার ১ বাড়ানো হবে।  ৩য় সারি হলো ২য় ইলিমেন্ট থেকে বানানো কিউমুলেটিভ সাম। এই সারির ২ থেকে ৭ ইনডেক্স পর্যন্ত সাম অ্যারের ইলিমেন্ট গুলোর মধ্যে মিনিমাম টা ০ থেকে বড় হলে, ১ সাইক্লিক শিফট শর্ত মেনেছে। এন্সার ১ বাড়ানো হবে। (উল্লেখ্য এই সারিতে ১ নম্বর ইনডেক্স এর ঘর খালি রাখা হয়েছে)। এভাবে ৬ সাইজের একটা অ্যারের জন্য ০ থেকে ৫ পর্যন্ত সাইক্লিক শিফট বের করে কয়টা সাইক্লিক শিফট এর মিনিমাম ভ্যালু ০ থেকে বড় সেটাই এই প্রব্লেমে বের করতে বলা হয়েছে।  এখন, এভাবে প্রত্যেক সাইক্লিক শিফট এর জন্য সাম জেনা...
Read more

LeetCode - Single Number III

-
 Problem Description  here Problem: এই প্রব্লেমে আমাদেরকে একটি ইন্টিজার অ্যারে দেয়া থাকবে যেখানে দুটি সংখ্যা ব্যাতিত বাকি সংখ্যাগুলো দুইবার করে থাকবে এবং ঐ দুটি সংখ্যা একবার করে থাকবে। বলতে হবে সংখ্যা দুটি কি কি? আমাদেরকে এই কাজ O(n) Time Complexity এবং O(1) Memory Complexity তে করতে হবে।  Solution: আমরা জানি, একই সংখ্যাকে জোড় সংখ্যক বার এক্সর করলে ফলাফল শূন্য হয়। ধরে নেই, অ্যারেতে একবার করে থাকা সংখ্যা দুটি x এবং y । তাহলে, z = a[1] ^ a[2] ^ ... ^ a[n] = x ^ y এখন, যেহেতু সংখ্যা দুটি একবার করে আছে তার মানে x এবং y দুটি ভিন্ন সংখ্যা! সুতরাং, তাদের এক্সর করলে অন্তত এমন একটি বিট থাকবে যে বিট সংখ্যাদ্বয়ের মধ্যে তফাৎ গড়ে দিবে! তাই, z = x ^ y হলে z এর সর্বডানের কোন বিট টি অন আছে সেটি দেখবো। মনে করি, z = x^y এর সর্বডানের অন বিট টি হলো kth Bit এখন, তাহলে অ্যারের যেসব সংখ্যার kth Bit অন তাদের এক্সর করলে সেটি হবে দুটির সংখ্যার একটি সংখ্যা x । কারণ , x ভিন্ন অন্য কোন সংখ্যার kth Bit ON থাকলেও সেটি দুইবার থাকবে যেকারণে সেখানে শুধু x ই থেকে যাবে।  এখন অপর সংখ্যা y...
Read more